TD 2

Exercice 1

1)

Nous allons étudier le lien entre taille du moteur et l’efficacité de la consommation d’essence à l’aide du jeu de données mpg de la librairie ggplot2. Donner le code R permettant de générer la courbe suivante (incluant le nom des axes et le chargement des données).

library(ggplot2)
data(mpg)
help(mpg)
## starting httpd help server ... done
ggplot(data = mpg) + geom_point(mapping = aes(x = displ  , y  = hwy)) + xlab('litrage du moteur') + ylab("Consommation d'essence (miles par gallons)")

### 2) On reprend le graphique précédent et on assigne une couleur différente en fonction des modalités sur la variable class. Copier et coller votre résultat. Commenter le graphique.

ggplot(data = mpg) + geom_point(mapping = aes(x = displ  , y  = hwy, colour = class)) + xlab('litrage du moteur') + ylab("Consommation d'essence (gallons par miles)")

Exo 2

1)

Tracer la densité et la fonction de répartition de la loi normale de moyenne 0 et d’écart-type 1 dans deux graphiques l’un à côté de l’autre. Ajouter

  • un titre sur chaque graphe et veillez à ce que celui-ci soit centré
  • la densité doit etre tracée en rouge
  • la fonction de répartition doit être tracée en bleue
library(gridExtra)
# Valeur de la densit? de probabilit? 
normal_pdf = data.frame(grid = seq(-5, 5, 0.01), f_x = dnorm(seq(-5, 5, 0.01)), F_x = pnorm(seq(-5, 5, 0.01)))
pdf_plot <- ggplot(data = normal_pdf) + geom_line(mapping = aes(x = grid, y = f_x), color = 'red') + xlab('x') + 
  ggtitle('Densité de probabilité') + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
cdf_plot <- ggplot(data = normal_pdf) + geom_line(mapping = aes(x = grid, y = F_x), color = 'blue') + xlab('x') + 
  ggtitle('Fonction de répartition') + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
grid.arrange(pdf_plot, cdf_plot, ncol=2)

2)

Tracer sur un même graphique la densité de la loi normale

  • de moyenne \(1\) et d’écart type \(3\)
  • de moyenne \(-1\) et d’écart-type \(0.5\)
  • de moyenne \(0\) et d’écart-type \(1\)

Chaque courbe doit être de couleur différente, et il faut une légende pour accompagner le graphique

Mettez simplement l’image.

normal_pdf_1_3 = data.frame(grid = seq(-10, 10, 0.01), f_x = dnorm(seq(-10, 10, 0.01), mean = 1, sd = 3), parametrisation =  'mu = 1 et sigma = 3')
normal_pdf_moins1_0.5 = data.frame(grid = seq(-10, 10, 0.01), f_x = dnorm(seq(-10, 10, 0.01), mean = -1, sd = 0.5), parametrisation =  'mu = -1 et sigma = 0.5')
normal_pdf_0_1 = data.frame(grid = seq(-10, 10, 0.01), f_x = dnorm(seq(-10, 10, 0.01), mean = 0, sd = 1), parametrisation =  'mu = 0 et sigma = 1')
normal_pdfs = rbind(normal_pdf_1_3, normal_pdf_moins1_0.5, normal_pdf_0_1)
ggplot(data = normal_pdfs) + geom_line(mapping = aes(x = grid, y = f_x, color = parametrisation))

## Exo 3

1)

Simuler un échantillon de taille \(1000\) de loi de Bernoulli de paramètre \(p=0.6\). Calculer les moyennes successives \(M_l = S_l / l\), avec \(S_l =\sum_{k=1}^{l}x_k\) et \(l=1,\ldots, 1000\) et tracer \(M_l\) en fonction des valeurs de \(l\). J’aimerais un nuage de points reliés.

# Echantillon de loi de Bernouilli 
sample_Bernoulli <- rbinom(1000, size = 1, prob = 0.6)
# Moyenne successive
successive_mean <- cumsum(sample_Bernoulli)/(1:1000)
# On crée le data frame
successive_mean_df <- data.frame(sample_size = 1:1000, successive_mean)
# On trace la courbe des moyennes successives
ggplot(data = successive_mean_df, mapping = aes(x = sample_size, y = successive_mean)) +
  geom_point() + geom_line()

2)

Générer des échantillons \(S_1, \ldots, S_{1000}\) de taille \(1000\) de loi binomiale de paramètres \(p = 0.5\) et

  • \(N = 10\)

  • \(N = 30\)

  • \(N = 1000\)

Stocker dans trois vecteurs (U10, U30 et U1000) les quantités \[ \frac{S_i- Np}{\sqrt{Np(1-p)}},\text{ }i = 1,\ldots 1000. \] pour chaque valeur de \(N\in\{10,30,1000\}\). Tracer les histogrammes pour chacune des valeurs de \(N\) et placer les les uns à côté des autres. Ajouter par dessus l’histogramme la desnité de la loi normal de moyenne 0 et d’écart type 1. Faites bien attention à l’échelle de l’axe des Y de l’histogramme.

library(gridExtra)
# Echantillon de loi binomiale avec leur paramètre de taille
binom_samples = lapply(c(10,30,1000), function(N) list(N, rbinom(1000, size = N, prob = 1/2)))
# Les quantités demandées dans l'énoncé
quantities = lapply(binom_samples, function(bin_samp) data.frame( quantity = (bin_samp[[2]]- bin_samp[[1]]/2) / sqrt(bin_samp[[1]] / 4)))
# Les trois histogrammes
hist_1 <- ggplot(quantities[[1]], aes(x = quantity)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 breaks = seq(-3, 3, by = 0.3), 
                 colour = "black", 
                 fill = "white") +
  # La fonction stat_function permet d'ajouter une courbe de référence
   stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = 0, sd = 1))
hist_2 <- ggplot(quantities[[2]], aes(x = quantity)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 breaks = seq(-3, 3, by = 0.3), 
                 colour = "black", 
                 fill = "white") +
   stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = 0, sd = 1))
hist_3 <- ggplot(quantities[[3]], aes(x = quantity)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 breaks = seq(-3, 3, by = 0.3), 
                 colour = "black", 
                 fill = "white") +
   stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = 0, sd = 1))
grid.arrange(hist_1, hist_2, hist_3, ncol=3)

Exercice 4

1)

Charger le jeu de données Datacar via le Package insuranceData. Nous allons étudier l’occurence de sinistres en fonction du genre. Sur un même graphique, afficher un diagramme en barre pour chaque modalité de la variable gender pour étudier la répartition des modalités sur la variable clm au sein des classe définie par la variable gender. Sur le graphique donner au dessus de chaque bar le pourcentage ligne/colonne correspondant (c’est à dire pour la barre associée à la modalité ‘F’ sur la variable gender et ‘0’ sur la variable clm, donner la proportion de modalité ‘0’ parmi les observations admettant la modalité ‘F’)

library(questionr)
library(insuranceData)
library(scales)
data("dataCar")
names(dataCar)
##  [1] "veh_value" "exposure"  "clm"       "numclaims" "claimcst0" "veh_body" 
##  [7] "veh_age"   "gender"    "area"      "agecat"    "X_OBSTAT_"
# Transformation de la variable clm en variable catégorielle
dataCar$clm <- as.factor(dataCar$clm)
# Tableau de contingence 
tab <- table(dataCar$gender, dataCar$clm)
pourcentage_ligne <- lprop(tab)
# Diagramme en bar 
ggplot(data = dataCar) + geom_bar(mapping = aes(x = gender, y = (..count..)/sum(..count..), fill = clm), position = 'dodge') + 
  # Pour afficher les valeurs sous le format pourcentage
  scale_y_continuous(labels = percent) + ylab('pourcentage') +
  annotate("text", x=0.75, y=0.55, label= paste(round(pourcentage_ligne[1,1]), '%')) +
  annotate("text", x=1.25, y=0.07, label= paste(round(pourcentage_ligne[1,2]), '%')) +
  annotate("text", x=1.75, y=0.42, label= paste(round(pourcentage_ligne[2,1]), '%')) +
  annotate("text", x=2.25, y=0.06, label= paste(round(pourcentage_ligne[2,2]), '%'))

ggsave("Diagramme_barre_Sinistralité.png")
## Saving 7 x 5 in image

2)

Mettre côte à côte l’histogramme et la boîte à moustache associés à la distribution du montant des sinistres (claimcst0) et en dessous l’histogramme et la boîte à moustache de la distribution des montants de sinitres non nuls.

library(gridExtra)
histogram <- ggplot(data = dataCar) + geom_histogram(aes(claimcst0), breaks = seq(0, 40000, 100))
boxplot <- ggplot(data = dataCar) + geom_boxplot(mapping = aes(y = claimcst0))
histogram_1 <- ggplot(data = dataCar[dataCar$clm == 1, ]) + geom_histogram(aes(claimcst0), breaks = seq(0, 40000, 100))
boxplot_1 <- ggplot(data = dataCar[dataCar$clm == 1, ]) + geom_boxplot(mapping = aes(y = claimcst0))
grid.arrange(histogram, boxplot, histogram_1, boxplot_1, ncol = 2)

### 3) Tracer sur un même graphique la boîte à moustache des montants de sinistres non nuls pour chacune des modalités de la variable gender. Ajouter une ligne horizontale pour indiquer où se situe la moyenne pour chacune des modalités sur la variable gender. Les lignes horizontales doivent être de couleur différente.

ggplot(data = dataCar[dataCar$clm == 1, ]) + geom_boxplot(mapping = aes(y = claimcst0, x = gender)) + geom_hline(yintercept = mean(dataCar$claimcst0[(dataCar$clm == 1)&(dataCar$gender == 'M')]), color = 'blue') + geom_hline(yintercept = mean(dataCar$claimcst0[(dataCar$clm == 1)&(dataCar$gender == 'F')]), color = 'red') +
  annotate("text", x = 2.5, y = 4000 , label = 'M', color = 'blue') +
  annotate("text", x = 2.5, y = 500, label = 'F', color = 'red')