TD 4

Exercice 1

1)

Regarder la fonction unique() et écrire une fonction unique_mine() qui reproduit la fonction unique(). Mettre le code R

#' unique_myown prend en argument un vecteur et renvoit un vecteur sans les doublons du vecteur initial
#'
#' @param x : un vecteur
#'
#' @return un vecteur ne contenant que des éléments distinct
#' @export
#'
#' @examples
unique_myown <- function(x){
  x_unique <- vector()
  for(k in 1:length(x)){
    if(x[k] %in% x_unique){
      x_unique[k] <- NA
    }else{
      x_unique[k] <- x[k]
    }
  }
  return(x_unique[!is.na(x_unique)])
}

#Test de la fonction
x = c(1,2,1,45,2,3)
unique(x) == unique_myown(x)
## [1] TRUE TRUE TRUE TRUE

2)

Ecrire une fonction rev_myown qui reproduit la fonction rev. Mettre le code R.

#' rev_myown reproduit la fonction rev
#'
#' @param x : un vecteur
#'
#' @return un vecteur dont l'ordre est exactement l'inverse du vecteur x
#' @export
#'
#' @examples
rev_myown <- function(x){
  x[sort(1:length(x), decreasing = T)]
}

x <- c(14, 47, 104, 89)
rev_myown(x)
## [1]  89 104  47  14
rev(x)
## [1]  89 104  47  14

Exercice 2

1)

Ecrire une fonction variance prenant en argument un vecteur x ($x = (x_1, \ldots, x_n)$) et un booléen biased qui retourne l’estimateur biasé
\[ \tilde{S}_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k - \bar{x})^{2} \] de la variance, où \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k\) désigne la moyenne empirique, lorsque biased = TRUE et l’estimateur non-biasé \[ \widehat{S}_{n}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n}(x_k - \bar{x})^{2} \] de la variance lorsque biased = FALSE. On n’utilisera pas la fonction var. Mettre le code R.

#' variance calcule la variance empirique d'une suite d'observations
#'
#' @param x vecteur numérique
#' @param biased booléen indiquant si l'estimateur biasé ou sans biais est évalué
#'
#' @return la variance empirique
#' @export
#'
#' @examples
variance <- function(x, biased){
  if(biased){
    est <- mean((x - mean(x))^{2})
  }else{
    est <- sum((x - mean(x))^{2}) / (length(x) - 1)
  }
  return(est)
}

# Variance empirique sans biais d'un échantillon de taille 2000 de réalisations d'une variable aléatoire de loi normale centrée réduite
variance(rnorm(2000), F)
## [1] 0.9652298

2)

Ecrire une fonction harmonique_mean prenant en argument un vecteur x ($x = (x_1, \ldots, x_n)$) qui retourne la moyenne harmonique définit par \[ \widehat{H}_{n} = \frac{n}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}} \]

#' harmonique_mean calcule la moyenne harmonique d'une série d'observation
#'
#' @param x vecteur numérique 
#'
#' @return la moyenne harmonique
#' @export
#'
#' @examples
harmonique_mean <- function(x){
  length(x) / mean(1 / x)
}

# Moyenne harmonique d'un échantillon de taille 1000 de réalisations d'une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1.
harmonique_mean(rexp(1000, rate = 1))
## [1] 134.7111

Exercice 3

La valeur actuelle d’une série de paiement (\(\text{Pmt} = (P_1,\ldots, P_n)\)) effectué chaque fin de période est donnée par \[ \text{VA}(\text{Pmt}, \text{Tx}) = \sum_{k=1}^{n}\prod_{l=1}^{k}(1+i_l)^{-1}P_k \] où \(\text{Tx} = (i_1,\ldots, i_n)\) représente les taux d’intérêt applicable chaque période. Ecrire une fonction qui prend en argument un vecteur de paiment Pmt et un vecteur de taux d’intérêt et qui renvoit la valeur actuelle de la série de paiements. Mettre le code R. Pas de boucle for.

#' Calcule_VA calcule la valeur actuelle de la somme d'une série de paiement
#'
#' @param Pmt vecteur numérique de paiment 
#' @param Tx vecteur numérique de taux d'intérêt
#'
#' @return
#' @export
#'
#' @examples
Calcule_VA <- function(Pmt, Tx){
  cumprod(1 / (1 + Tx)) %*% Pmt
}

Tx = rep(0.05, 5)
Pmt = rep(100, 5)
# Calcul de la valeur actuelle d'une série de versement de montant 100 au taux d'actualisation fixe de 5%
Calcule_VA(Pmt, Tx)
##          [,1]
## [1,] 432.9477

Exercice 4

1)

Deux dés à trois faces sont utilisés pour simuler le mouvement des indices boursiers. - Le premier dé donne la direction du mouvement baisse, hausse, nul - Le deuxième dé donne l’amplitude du mouvement à la hausse ou à la baisse le cas échéant. Les valeurs possibles sont 5, 10, 20.

Ecrire une fonction simule_indice qui prend en argument la valeur initiale de l’indice boursier x0 et l’horizon de projection horizon et qui renvoit un data frame contenant horizon lignes et \(4\) variables

  • periode la période en cours
  • Direction le mouvement de l’indice sur la période en cours
  • Amplitude l’amplitude du mouvement sur la période en cours (égale à \(0\) en case de mouvement nul Direction==nul)
  • Xt la valeur de l’indice en fin de période.

Générer un tableau avec T=10 et x0 = 10, mettre le code et coller le tableau.

#' simule_indice
#'
#' @param horizon Nombre entier égale à l'horizon de projection
#' @param x0 Valeur initiale de l'indice boursier
#'
#' @return Un data frame contenant 4 variables dont l'indice de la période courante, la direction de l'iondice et l'amplitude de la variation au cours de la période et la valeur de l'indice en fin de période
#' @export
#'
#' @examples

simule_indice <- function(horizon, x0){
  # Directions possibles
  direction <- c("hausse", "baisse", "nul")
  # Amplitudes possibles
  amplitude <- c(5, 10, 20)
  # Simulation des dircetion jusqu'à la fin de la projection
  direction_vec <- sample(direction, horizon, replace = T)
  amplitude_vec <- rep(0, horizon)
  for(k in 1:horizon){
    if(direction_vec[k] == "nul"){
      
      amplitude_vec[k] <- 0
      
    }else if(direction_vec[k] == "baisse"){
        
      amplitude_vec[k] <- - sample(amplitude, 1)
      
    }else{
        
      amplitude_vec[k] <-  sample(amplitude, 1)
      
      }
    
  }
  data.frame(periode = 1:horizon,  direction = direction_vec, amplitude = amplitude_vec, indice = x0 + cumsum(amplitude_vec))
}

simule_indice(horizon = 10, x0 = 100)
##    periode direction amplitude indice
## 1        1       nul         0    100
## 2        2       nul         0    100
## 3        3       nul         0    100
## 4        4       nul         0    100
## 5        5    hausse        10    110
## 6        6    baisse       -20     90
## 7        7    baisse       -10     80
## 8        8    hausse        10     90
## 9        9    hausse        10    100
## 10      10    baisse        -5     95

2)

Utiliser la fonction pour générer une trajectoire de l’indice boursier sur 2000 périodes d’exercice, on prendra \(100\) comme valeur initiale. Tracer le graphique de la valeur de l’indice en fonction du temps. Ne mettre que l’image.

library(ggplot2)
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 3.5.2
# Création du data frame
indice_2000 <- simule_indice(2000, 100)
#Construction du graphique
ggplot(data = indice_2000) + geom_line(mapping = aes(x = periode, y = indice)) + xlab("période d'exercice") + ylab("Valeur de l'indice") + ggtitle("Evolution de l'indice boursier")  + theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))